圆规怎么用(圆规什么样的好用)

所谓“几何作图三大难题”,其所以“难”,只不过是因为受到作图工具的限制(只许用圆规和直尺)所致。如果取消这种限制,则所谓的“几何作图难题”都可以作出,也就不难了。两千多年来,人们沿袭欧几里得只许用圆规和直尺的规定来作几何图形,这本来就相当苛刻了,更有甚者,有人竟提出,只用圆规或仅用直尺作图,并对此进行了研究。

仅用圆规的作图

意大利数学家马索若尼连直尺也可以去掉,他巧妙地证明了凡用圆规和直尺所能作出的图形,仅用圆规也同样可以作出。他把自己的研究成果,写成了《圆规几何学》的专著(据说比马索若尼早一个世纪的丹麦数学家海尔姆斯列夫在其《欧几里得作图》一书中,已经包含了《圆规几何学》中的成果)。

因为仅用圆规的作图无法画出直线,因此在这里约定:一条直线只要它上面的两个点已知,就算这条直线已被确定了。

1.问题的解决

要仅用圆规来代替圆规和直尺的作图,必须让圆规完成以下两件事:

(1)求已知两个点的一条直线与一个已知圆的交点;

(2)求各已知两个点的两条直线的交点。

对于第(1)件事又分:

如果已知圆的圆心O不在直线AB上时,如图1:可以点A为圆心,以AO为半径画弧,再以点B为圆心,以BO为半径画弧,二弧相交于另一个点O’,再以O’为圆心,作一与圆O等半径的圆,二圆相交于C、D即为所求的两个交点。

圆规怎么用(圆规什么样的好用)

如果已知圆的圆心O在直线AB上时,请读者自行找出直线与圆的两个交点。

对于第(2)件事,完成也不困难,但因篇幅所限,留给读者去思考,对此训练一下自己的作图技巧。

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这两项本来是由直尺完成的基本作图,现已由圆规独立完成了,从而仅用圆规可代替要用圆规和直尺同时完成的作图了。这种别具一格的作图虽然过程很繁琐,实际意义不大,但却充分显示了圆规这个作图工具比直尺更为灵巧。它的大量精妙的作图方法闪烁着人类智慧的光辉,有助于丰富人们的思维。因此,它仍不失为数学园地中的一枝奇葩。

2.拿破仑分圆问题

法国大革命时期的风云人物拿破仑,在他南征北战、日理万机的情况下,仍旧对平面几何颇感兴趣,并抽出一些时间来研究,他曾读过《圆规几何学》一书,兴奋之余,给法国的数学家出了一道题目:“把一个圆四等分,但不准用直尺。”

他自己也研究过并较圆满地解决了这个问题:如图2,在圆上任取一点A,从A出发,以此圆的半径r顺次截取B、C、D三点,则AD显然是圆的直径,而AC是圆的内接正三角形的一边,所以,再分别以A、D为圆心,以AC为半径画弧,两弧相交于M,则线段OM之长即为圆的内接正方形的边长。故在圆上可从任意一点出发,相继截取OM之长,则可将圆周四等分了。这是因为,在Rt△MAO中:,就是圆内接正方形的边长。

圆规怎么用(圆规什么样的好用)

3.生锈圆规

美国几何学家、年逾七旬的老教授佩多,敏锐地看出:固定圆规半径的作图题,可能隐藏着有趣的奥妙,他把这种固定半径的圆规称为生锈圆规。佩多精心地选择了两个问题于1982年在加拿大的一份杂志上提出,征求解答:

(1)已知两点A、B,只用一把生锈圆规找出以AB为边的正三角形的另一顶点C;

(2)已知两点A、B,只用一把生锈圆规找出AB中点C。(应知,线段AB是没有画出来的,因为没有直尺!)

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